7.4 一阶线性方程组的基本理论

nn个一阶线性方程组的通用理论

x1′=p11(t)x1+⋯+p1n(t)xn+g1(t),⋮xn′=pn1(t)x1+⋯+pnn(t)xn+gn(t)\begin{align*} x_{1}^{\prime} & =p_{11}(t) x_{1}+\cdots+p_{1 n}(t) x_{n}+g_{1}(t), \\ & \vdots \tag{1}\\ x_{n}^{\prime} & =p_{n 1}(t) x_{1}+\cdots+p_{n n}(t) x_{n}+g_{n}(t) \end{align*}

与nn阶单个线性方程的理论非常相似。因此，本节中的讨论遵循与第 3.2 节和第 4.1 节中相同的总体思路。为了最有效地讨论系统 (1)，我们用矩阵符号来表示它。也就是说，我们认为x1=x1(t),…,xn=xn(t)x_{1}=x_{1}(t), \ldots, x_{n}=x_{n}(t)是向量x=x(t)\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)的分量；类似地，

g1(t),…,gn(t)g_{1}(t), \ldots, g_{n}(t)是向量g(t)\mathbf{g}(t)的分量，而p11(t),…,pnn(t)p_{11}(t), \ldots, p_{n n}(t)是n×nn \times n矩阵P(t)\mathbf{P}(t)的元素。那么方程 (1) 采用以下形式

x′=P(t)x+g(t)\begin{equation*} \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x}+\mathbf{g}(t) \tag{2} \end{equation*}

向量和矩阵的使用不仅节省了大量空间并方便了计算，而且还强调了微分方程组与单个（标量）微分方程之间的相似性。

如果向量x=x(t)\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)的分量满足方程组 (1)，则称其为方程 (2) 的解。在本节中，我们始终假设P\mathbf{P}和g\mathbf{g}在某个区间α<t<β\alpha<t<\beta上是连续的；也就是说，每个标量函数p11,…,pnn,g1,…,gnp_{11}, \ldots, p_{n n}, g_{1}, \ldots, g_{n}在该区间上都是连续的。根据定理 7.1.2，这足以保证方程 (2) 在区间α<t<β\alpha<t<\beta上存在解。

首先考虑齐次方程

x′=P(t)x\begin{equation*} \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x} \tag{3} \end{equation*}

通过在方程 (2) 中设置g(t)=0\mathbf{g}(t)=\mathbf{0}得到。正如我们在单个线性微分方程（任何阶数）中所看到的，一旦齐次方程被解出，就可以使用几种方法来解非齐次方程 (2)；这将在第 7.9 节中讨论。

我们使用以下符号

x(1)(t)=(x11(t)x21(t)⋮⋮xn1(t)),…,x(k)(t)=(x1k(t)x2k(t)⋮xnk(t)),…(4)\mathbf{x}^{(1)}(t)=\left(\begin{array}{c} x_{11}(t) \tag{4}\\ x_{21}(t) \\ \vdots \\ \vdots \\ x_{n 1}(t) \end{array}\right), \ldots, \mathbf{x}^{(k)}(t)=\left(\begin{array}{c} x_{1 k}(t) \\ x_{2 k}(t) \\ \vdots \\ x_{n k}(t) \end{array}\right), \ldots

来指定系统 (3) 的特定解。请注意，xij(t)=xi(j)(t)x_{i j}(t)=x_{i}^{(j)}(t)指的是第jth j^{\text {th }}个解x(j)(t)\mathbf{x}^{(j)}(t)的第ith i^{\text {th }}个分量。关于系统 (3) 解的结构的主要事实在定理 7.4.1 到 7.4.5 中进行了陈述。它们与第 3.2 节和第 4.1 节中的相应定理非常相似；一些证明留给读者作为练习。

定理 7.4.1 | 叠加原理

如果向量函数x(1)\mathbf{x}^{(1)}和x(2)\mathbf{x}^{(2)}是系统 (3) 的解，则线性组合c1x(1)+c2x(2)c_{1} \mathbf{x}^{(1)}+c_{2} \mathbf{x}^{(2)}也是任意常数c1c_{1}和c2c_{2}的解。

叠加原理可以通过简单地对c1x(1)+c2x(2)c_{1} \mathbf{x}^{(1)}+c_{2} \mathbf{x}^{(2)}求导并使用x(1)\mathbf{x}^{(1)}和x(2)\mathbf{x}^{(2)}满足方程 (3) 这一事实来证明。举例来说，可以验证

x(1)(t)=(e3t2e3t)=(12)e3t,x(2)(t)=(e−t−2e−t)=(1−2)e−t\begin{equation*} \mathbf{x}^{(1)}(t)=\binom{e^{3 t}}{2 e^{3 t}}=\binom{1}{2} e^{3 t}, \quad \mathbf{x}^{(2)}(t)=\binom{e^{-t}}{-2 e^{-t}}=\binom{1}{-2} e^{-t} \tag{5} \end{equation*}

满足方程

x′=(1141)x(6)\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \tag{6}\\ 4 & 1 \end{array}\right) \mathbf{x}

那么，根据定理 7.4.1，

x=c1x(1)(t)+c2x(2)(t)=c1(12)e3t+c2(1−2)e−t=(c1e3t+c2e−t2c1e3t−2c2e−t)\begin{equation*} \mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+c_{2} \mathbf{x}^{(2)}(t)=c_{1}\binom{1}{2} e^{3 t}+c_{2}\binom{1}{-2} e^{-t}=\binom{c_{1} e^{3 t}+c_{2} e^{-t}}{2 c_{1} e^{3 t}-2 c_{2} e^{-t}} \tag{7} \end{equation*}

也满足方程 (6)。

通过重复应用定理 7.4.1，我们可以得出结论，如果x(1),…,x(k)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(k)}是方程 (3) 的解，则

x=c1x(1)(t)+⋯+ckx(k)(t)\begin{equation*} \mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+\cdots+c_{k} \mathbf{x}^{(k)}(t) \tag{8} \end{equation*}

也是任意常数c1,…,ckc_{1}, \ldots, c_{k}的解。因此，方程 (3) 的解的每个有限线性组合也是解。现在出现的问题是，是否可以用这种方式找到方程 (3) 的所有解。与先前的情况类似，可以合理地预期，对于nn个一阶微分方程的系统 (3)，足以形成nn个适当选择的解的线性组合。因此，令x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}是系统 (3) 的nn个解，并考虑矩阵X(t)\mathbf{X}(t)，其列是向量x(1)(t),…,x(n)(t)\mathbf{x}^{(1)}(t), \ldots, \mathbf{x}^{(n)}(t)：

X(t)=(x11(t)⋯x1n(t)⋮⋮xn1(t)⋯xnn(t))(9)\mathbf{X}(t)=\left(\begin{array}{ccc} x_{11}(t) & \cdots & x_{1 n}(t) \tag{9}\\ \vdots & & \vdots \\ x_{n 1}(t) & \cdots & x_{n n}(t) \end{array}\right)

回顾第7.3节，对于给定的tt值，X(t)\mathbf{X}(t)的列是线性无关的，当且仅当det X≠0\mathbf{X} \neq 0。该行列式被称为nn个解x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}的朗斯基行列式，也记为W[x(1),…,x(n)]W\left[\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\right]；即，

W[x(1),…,x(n)](t)=det⁡X(t)\begin{equation*} W\left[\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\right](t)=\operatorname{det} \mathbf{X}(t) \tag{10} \end{equation*}

因此，解x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}在某一点线性无关的充要条件是W[x(1),…,x(n)]W\left[\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\right]在该点不为零。

定理 7.4.2

如果向量函数x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}是系统(3)在线性无关的解，对于区间α<t<β\alpha<t<\beta内的每个点，那么系统(3)的每个解x=x(t)\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)都可以唯一地表示为x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}的线性组合

x(t)=c1x(1)(t)+⋯+cnx(n)(t)\begin{equation*} \mathbf{x}(t)=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+\cdots+c_{n} \mathbf{x}^{(n)}(t) \tag{11} \end{equation*}

在证明定理7.4.2之前，请注意，根据定理7.4.1，所有形如(11)的表达式都是系统(3)的解，而根据定理7.4.2，方程(3)的所有解都可以写成(11)的形式。如果常数c1,…,cnc_{1}, \ldots, c_{n}被认为是任意的，那么方程(11)包含了系统(3)的所有解，通常称其为通解。方程(3)的任何解集{x(1),…,x(n)}\left\{\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\right\}如果在区间α<t<β\alpha<t<\beta内的每个点都是线性无关的，则称其为该区间的基本解集。

为了证明定理7.4.2，我们将证明方程(3)的任何解x(t)\mathbf{x}(t)都可以写成x(t)=c1x(1)(t)+⋯+cnx(n)(t)\mathbf{x}(t)=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+\cdots+c_{n} \mathbf{x}^{(n)}(t)，对于合适的c1,…,cnc_{1}, \ldots, c_{n}的值。设t=t0t=t_{0}是区间α<t<β\alpha<t<\beta中的某个点，并设y=x(t0)\mathbf{y}=\mathbf{x}\left(t_{0}\right)。我们现在希望确定是否存在x=c1x(1)(t)+⋯+cnx(n)(t)\mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+\cdots+c_{n} \mathbf{x}^{(n)}(t)形式的解，该解也满足相同的初始条件x(t0)=y\mathbf{x}\left(t_{0}\right)=\mathbf{y}。也就是说，我们想知道是否存在c1,…,cnc_{1}, \ldots, c_{n}的值，使得

c1x(1)(t0)+⋯+cnx(n)(t0)=y\begin{equation*} c_{1} \mathbf{x}^{(1)}\left(t_{0}\right)+\cdots+c_{n} \mathbf{x}^{(n)}\left(t_{0}\right)=\mathbf{y} \tag{12} \end{equation*}

或者，以标量形式表示，

c1x11(t0)+⋯+cnx1n(t0)=y1⋮c1xn1(t0)+⋯+cnxnn(t0)=yn\begin{align*} c_{1} x_{11}\left(t_{0}\right)+\cdots+c_{n} x_{1 n}\left(t_{0}\right) & =y_{1} \\ & \vdots \tag{13}\\ c_{1} x_{n 1}\left(t_{0}\right)+\cdots+c_{n} x_{n n}\left(t_{0}\right) & =y_{n} \end{align*}

方程(13)拥有唯一解c1,…,cnc_{1}, \ldots, c_{n}的充要条件是系数行列式不为零，该系数行列式即是在t=t0t=t_{0}处计算的朗斯基行列式W[x(1),…,x(n)]W\left[\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\right]。假设x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}在α<t<β\alpha<t<\beta内线性无关，保证了W[x(1),…,x(n)]W\left[\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\right]在t=t0t=t_{0}处不为零，因此存在一个(唯一的)方程(3)的解，形式为x=c1x(1)(t)+⋯+cnx(n)(t)\mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+\cdots+c_{n} \mathbf{x}^{(n)}(t)，并且也满足初始条件(12)。根据定理7.1.2的唯一性部分，该解为x(t)\mathbf{x}(t)，因此x(t)=c1x(1)(t)+⋯+cnx(n)(t)\mathbf{x}(t)=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+\cdots+c_{n} \mathbf{x}^{(n)}(t)，证毕。

定理 7.4.3 | 阿贝尔定理

如果x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}是方程(3)在区间α<t<β\alpha<t<\beta上的解，那么在该区间内，W[x(1),…,x(n)]W\left[\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\right]要么恒等于零，要么永不为零。

定理7.4.3的重要性在于，它使我们不必检查感兴趣区间内所有点的W[x(1),…,x(n)]W\left[\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\right]，而只需通过在区间内的任何方便点评估其朗斯基行列式即可确定x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}是否形成基本解集。

定理7.4.3的证明首先建立在x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}的朗斯基行列式满足微分方程(见问题8)的基础上

dWdt=(p11(t)+p22(t)+⋯+pnn(t))W\begin{equation*} \frac{d W}{d t}=\left(p_{11}(t)+p_{22}(t)+\cdots+p_{n n}(t)\right) W \tag{14} \end{equation*}

因此

W(t)=cexp⁡(∫[p11(t)+⋯+pnn(t)]dt)\begin{equation*} W(t)=c \exp \left(\int\left[p_{11}(t)+\cdots+p_{n n}(t)\right] d t\right) \tag{15} \end{equation*}

其中 cc 是任意常数，并且该定理的结论立即成立。方程 (15) 中 W(t)W(t) 的表达式被称为阿贝尔公式；请注意该结果与定理 3.2.7 特别是第 3.2 节的方程 (23) 的相似之处。

另一种证明定理 7.4.3 的方法是证明：如果方程 (3) 的 nn 个解 x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)} 在一个点 t=t0t=t_{0} 处线性相关，那么它们在 α<t<β\alpha<t<\beta 中的每个点都必须是线性相关的（参见问题 14）。因此，如果 x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)} 在一个点处线性无关，那么它们在区间中的每个点都必须是线性无关的。

下一个定理指出系统 (3) 总是至少有一组基本解。

定理 7.4.4

设

e(1)=(100⋮0),e(2)=(010⋮0),…,e(n)=(00⋮01);\mathbf{e}^{(1)}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{e}^{(2)}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right), \ldots, \mathbf{e}^{(n)}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) ;

此外，设 x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)} 是满足初始条件的系统 (3) 的解

x(1)(t0)=e(1),…,x(n)(t0)=e(n),\begin{equation*} \mathbf{x}^{(1)}\left(t_{0}\right)=\mathbf{e}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)}\left(t_{0}\right)=\mathbf{e}^{(n)}, \tag{16} \end{equation*}

其中 t0t_{0} 是 α<t<β\alpha<t<\beta 中的任意一个点。那么 x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)} 构成系统 (3) 的一组基本解。

为了证明这个定理，请注意定理 7.4.4 中提到的解 x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)} 的存在性和唯一性由定理 7.1.2 保证。 不难看出，当 t=t0t=t_{0} 时，这些解的朗斯基行列式等于 1；因此，x(1),…,x(n)\mathbf{x}^{(1)}, \ldots, \mathbf{x}^{(n)} 是一组基本解。

一旦找到一组基本解，就可以通过形成第一组的（独立）线性组合来生成其他组。出于理论目的，定理 7.4.4 给出的集合通常是最简单的。

最后，可能会发生（就像对于二阶线性方程一样）系数都是实值的系统可能会产生复值解。 在这种情况下，以下定理类似于定理 3.2.6，使我们能够获得实值解。

定理 7.4.5

考虑系统 (3)

x′=P(t)x,\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x},

其中 P\mathbf{P} 的每个元素都是实值连续函数。如果 x=u(t)+iv(t)\mathbf{x}=\mathbf{u}(t)+i \mathbf{v}(t) 是方程 (3) 的复值解，那么它的实部 u(t)\mathbf{u}(t) 和它的虚部 v(t)\mathbf{v}(t) 也是该方程的解。

为了证明这个结果，我们将 u(t)+iv(t)\mathbf{u}(t)+i \mathbf{v}(t) 代入方程 (3) 中的 x\mathbf{x}，从而得到

x′−P(t)x=u′(t)−P(t)u(t)+i(v′(t)−P(t)v(t))=0\begin{equation*} \mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{P}(t) \mathbf{x}=\mathbf{u}^{\prime}(t)-\mathbf{P}(t) \mathbf{u}(t)+i\left(\mathbf{v}^{\prime}(t)-\mathbf{P}(t) \mathbf{v}(t)\right)=\mathbf{0} \tag{17} \end{equation*}

我们利用了 P(t)\mathbf{P}(t) 是实值的假设，将方程 (17) 分离成它的实部和虚部。由于一个复数是零当且仅当它的实部和虚部都为零，因此我们得出结论 u′(t)−P(t)u(t)=0\mathbf{u}^{\prime}(t)-\mathbf{P}(t) \mathbf{u}(t)=\mathbf{0} 并且 v′(t)−P(t)v(t)=0\mathbf{v}^{\prime}(t)-\mathbf{P}(t) \mathbf{v}(t)=\mathbf{0}。因此，u(t)\mathbf{u}(t) 和 v(t)\mathbf{v}(t) 是方程 (3) 的解。

总结本节的结果：

  1. 系统 x′=P(t)x\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x} 的任何一组 nn 个线性无关的解构成一组基本解。
  2. 在本节给出的条件下，这些基本解集总是存在的。
  3. 系统 x′=P(t)x\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x} 的每一个解都可以表示为任何一组基本解的线性组合。